From philosophy to science(1)

一直想整理一下自己的思绪。决定写一个小结,把自己研究生阶段接触的东西系统地总结一下。题目很大,但可以写得很小。刚开始,我只是觉得CS很好玩,里面有很酷的东西,从一篇sir写的介绍这个领域的文章中知道了很多经典的书。那时就觉得自己把所有的都学到,应该是一种很不错的感觉。为了考研,就自学那些书,很多时候看了不能完全懂,就放放过几天再读。慢慢地对这个领域也有了初步的印象。当时常常去计算机科学论坛,在那里遇到了不少牛人。那时没事就会泡论坛,看看一些文章,水水贴。后来,也是运气较好,进入南大计算机系。刚开始,也不知道要干嘛。混乱了几个月。然后就开学了。开始了研究生阶段的懵懂的学习和“科研”。下面介绍对自己产生影响的一系列事件。

研一,上计算入门——递归函数论,lambda演算,Turing机,知道了众多大牛,Kurt Gödel,Alonzo Church,Alan Turing,这是一门“不需要基础却需要修为”的课程(其实我感觉有了基础才能谈到修为)。由于缺了第一节课(本课程中最重要的),因此在前几次课程中就是去感受内力的。直到课程结束,才略微有点感觉了。不过还是没弄懂,学会的只是这些计算模型本身和一些使用到的数学技巧。这门课本身真实的深度和广度远远超过课上介绍的内容。这是我在近两年的时间内明白的道理。也许只有理解了Leibnitz的理想之后,再看待课中讲到的这些内容,才能获得一种精神上的满足和震撼的感受。

上完这门课,觉得自己缺少的东西是对这门学科的发展之源头的掌握。而这个源头在哪呢,那就是数理逻辑。更广泛地说,应该是科学本身。于是我便去听了数理逻辑这门课。

研二,上数理逻辑,慢慢地知道了这门博大精深的学科!课上老师最强调的一点是,将逻辑看成研究形式语言和形式系统(主要是逻辑和数学的形式系统)的语法(表达式之间的关系)和语义(表达式同它们的意义或者解释之间的关系)。数理逻辑的主要领域也正对应着这两个方面:递归论和证明论主要与语法有关,集合论和模型论主要与语义有关。

很多平时遇到很多人随便使用的术语,都存在或多或少的问题。什么是模型,什么是解释,什么是符号,什么是解释,什么是公理系统,什么是形式系统,什么是形式化方法等等问题,这门课上多少能让人懂得一些。

逐渐明白那些追求真理和智慧的人们为何要去做这些事情。在课上了解到了那些史上最牛的为人类文明作出贡献的人们,Cantor,Frege,Russell,Peano,Dedekind,Zermelo,Mirimanoff,Skolem,Fraenkel,Ackermann,von Neumann,Gödel。

Leibnitz(1646-1716)力图建立一种精确的、普遍的科学语言,并寻求一种推理演算完成对争论的一劳永逸的解决。1847年 George Boole(1815-1864)发展了逻辑代数,这个东西相应于命题演算。数理逻辑的创始应该是与于1880年左右提出的一阶逻辑和集合论一致的。Cantor在1869年开始研究用三角级数表示一个函数的问题,在1872年引进了一个实数集的极限点的集合的概念。1880年,他第一次提出了无穷序数。并在1874年利用1-1 onto的概念证明了:实数不可数。Frege在1879年在其《概念文字》书中将谓词演算形式化,其中关于序列的思想导致了后来使用集合论概念定义整数的方式。

Peano公理在1889年首次发表,其中用到了Dedekind论文的结果。

Cantor在1878年首次提出连续统假设。

1900年后十年间,Zermelo表述了选择公理同时提供了一个集合论的公理系统。根据Richard和Poincaré ,Russell表述了分支类型论,这可以看成是明确地用为此演算来研究集合论的基础。后来Zermelo集合论公理由Mirimanoff,Skolem,Fraenkel和von Neumann加以改进。特别是Löwenheim和Skolem作出的结果:如果公理集合论有一个模型,那么它就有一个可数模型。这点就显示出形式系统的局限性。

Hilbert在此期间勾画出了证明连续统假设的道路,对谓词演算形式系统的完全性加以定义,并作为一个为解决的问题提出来。

关于Gödel多写点。1930年Gödel建立了众所周知的谓词演算系统的完全性。1931年不完全性定理证实了数论或分析或集合了的形式系统是不完全的和不可能完全的。其中一个系说:一个给定的形式系统的consistency证明需要用到系统外的证明方法。同时这个结果也对判定问题和判定Diophantus方程的可解性提出了否定的答案。后来这个定理的证明由Gödel根据Herbrand的提示引进了一般递归函数的概念。这也给后来者Church和Kleene带来了新的思考方向。后来Turing引入一般机器的概念,其实也深深受到Gödel的影响。

上面内容大多来自王浩《数理逻辑通俗讲话》,写得很清晰,就不敢自己乱扯了。

尽管这门课只是对数理逻辑入门的介绍,内容不多,但很精致,获益颇深。很多东西说不上来,觉得还是没太懂。陈省身对吴文俊说:你(在图书馆)看了那么多人家的研究成果,吸收了人家的东西,就是欠了人家的债,现在你自己也得做出东西来,还给别人。现在我是愧疚得不得了了。sigh~

科学和哲学,都有共同的目标那就是寻求真理(the truth)。各自采用不同的方式来影响人类的发展。这两者其实不可分割的。人类在历史发展进程中,不断寻求对世界的认识,理解已经发生,了解正在发生的,去预测未知。这是人类最伟大的地方,就算永远不能得到真理,也会去不断地追求,也许这才是人类存在的意义。


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